Los problemas al resolver problemas

La idea está muy clara. Saber resolver problemas es fundamental para manejarse en la vida. Tanto en la complicada sociedad en la que vivimos como en un ámbito laboral cada vez más especializado. Además, la capacidad de resolver problemas debería contribuir a desarrollar el pensamiento crítico y a enfocar la realidad desde un punto de vista científico.

Entonces, ¿por qué, niños y adultos, somos incapaces de resolver los problemas que nos plantea la realidad? ¿Por qué cada año hay cientos de personas haciendo cola en la lotería de Doña Manolita, como si tuviera mayores probabilidades de tocar? ¿Por qué los profesores se quejan de que los niños no saben enfrentarse a los problemas?

En relación a la lotería, tal vez por un lado no ayude el papel de la prensa, con noticias tendenciosas, que más parecen propaganda de una administración de lotería, que información veraz. Tampoco contribuye que la estadística y la probabilidad se dejen para final de curso en la mayoría de colegios e institutos. Y naturalmente, los adultos, deberíamos ejercer como tales y cuestionar las ‘verdades’ que escuchamos y pararnos a reflexionar sobre ellas, dando ejemplo a niñas y adolescentes.

Centrándonos en la resolución de problemas, una parte importante del problema está en el modo en que se enseñan los problemas en el ámbito escolar, desde infantil, hasta el bachillerato. Otra causa reside en la sobreprotección de los niños y en la dificultad para dejarlos libres en las ciudades.

Familias y profesorado podemos hacer mucho para mejorar la competencia en resolución de problemas dotándolos de herramientas que les sirvan para enfrentarse a la vida. ¡Vamos allá!

Las causas

1. No son problemas, sino ejercicios de aplicación

Desde nuestro punto de vista, la principal causa reside en que en matemáticas, en física, no se proponen problemas, sino ejercicios de aplicación. En un problema no se conoce el método de resolución, hay que averiguarlo. En un ejercicio de aplicación sí se conoce cómo resolverlo y sirve para practicar un conocimiento previamente aprendido. Un problema implica pensar y un ejercicio, mecanizar.

Un ejemplo

Pongamos un ejemplo en educación infantil planteado por Ángel Alsina, aunque podríamos plantear una cuestión similar en cualquier nivel educativo:

• Problema: «Juan llevaba cuatro vasos de vidrio en una bandeja, cuando uno se le cayó. ¿Qué pasó después?»
• Ejercicio de aplicación: «Juan llevaba cuatro vasos de vidrio en una bandeja, cuando uno se le cayó. ¿Cuántos vasos quedaron?». A veces aún se especifica más, y se comienza informando al alumnado de que se va a resolver un problema de restas.

Confundir problemas y ejercicios y no proponer problemas abiertos e interesantes da lugar al principal estereotipo en la resolución de problemas: pensar que los problemas son un asunto sólo de la escuela y que todos se resuelven con una operación.

Si cuando se enseñan las multiplicaciones, se ponen ejercicios de aplicación de la multiplicación e igual cuando se da el mínimo común múltiplo o las ecuaciones, sin salirse nunca del guión. Los estudiantes no aprenden a pensar, a desmenuzar el problema para comprenderlo, a probar distintas estrategias y a sentir el placer de lograr resolverlo.

Cómo se plantea la resolución de problemas

Ante la desesperación de los profesores, los estudiantes sondean los textos en busca de las palabras claves que les permiten identificar la operación que resuelve la cuestión, sin realmente llegar, en muchos casos a entender lo que están haciendo ni a plantearse que eso tiene una aplicación o un sentido real. Pero, ¿no es eso lo que se les enseña al dividir la resolución del problema en Descripción, Operaciones y Solución?

Según el Informe PISA de 2012, el alumnado español interpreta adecuadamente las soluciones de un problema, pero no es nada bueno en averiguar qué estrategias aplicar para resolverlo. ¿No será porque un aspecto sí se trabaja habitualmente en clase y el otro rara vez?

2. El nivel de comprensión lectora es bajo y los problemas se suelen plantear por escrito

Uno de los grandes obstáculos a la hora de resolver problemas en todos los niveles educativos desde primaria hasta bachillerato, son las dificultades de comprensión lectora. Si no comprendes lo que lees, difícilmente podrás obtener la solución. Este es un asunto que preocupa a familias y profesorado y que debe continuar abordándose desde todas las áreas, ya sea matemáticas o sociales.

Por otro lado, la resolución de problemas no debería estar indivisiblemente vinculada a una adecuada comprensión lectora, pues en ese caso en lugar de un problema, tenemos dos. Los problemas pueden plantearse mediante imágenes de un cómic, una fotografía, un vídeo, verbalmente o mediante materiales, no sólo por escrito.

3. Sobreprotección y poca confianza en las capacidades de los niños en los hogares

Según el Informe PISA, el alumnado español tiene mayores dificultades para resolver problemas reales que la media de la Unión Europea (lo que no ocurre en matemáticas). Algo no se está haciendo bien en las familias y toca reflexionar.

Hoy en día hay pocos niñas por hogar, suelen estar atendidos por un adulto y las calles, atestadas de coches, no suelen ser un lugar seguro para ellos. Estas circunstancias conllevan que muchas niñas no tengan que ocuparse de nada en sus hogares, en muchos casos ni tan siquiera se visten solas o se atan los zapatos hasta la preadolescencia. Cocinar o limpiar son actividades que les son ajenas.

Al salir al exterior también es el adulto el que dirige y se ocupa de todos los detalles: pagar en la cafetería, comprar las entradas del cine, hacer la compra o decidir cuando es conveniente cruzar una calle.

Las soluciones

Diagnosticado el problema, ¿cuáles son las soluciones?

1. Soluciones en casa

En casa y en la calle, la solución se puede resumir en la frase: «déjale hacerlo sin tu ayuda«. En general, resolver problemas consiste en jugar y en resolver las situaciones cotidianas que surjan, que irán siendo más complejas conforme crezcan.

Es positivo elogiar su esfuerzo, su tenacidad o el logro conseguido con expresiones como «te costó pero lo has conseguido», «admiro tu tenacidad», «puedes estar orgulloso de tu esfuerzo», «era difícil pero lo lograste».

Ejemplos de actividades de la vida diaria que implican resolución de problemas

Proponemos ejemplos de actividades de la vida cotidiana que se pueden realizar en casa o en el exterior y que llevan implícito el desarrollo de capacidades de resolución de problemas. Pueden ser estrategias como el ensayo y error, considerar alternativas, la toma de decisiones, la comprensión lectora o de imágenes y diagramas.

Se encuentran secuenciadas según su dificultad y pensados desde los 0 a los 11 o 12 años si bien no existe una edad correcta para hacer cada una de ellas. Cada niño tiene un ritmo y debe respetarse. Simplemente pretenden servir de sugerencias o ideas de actividades. Todas ellas son planteables en intervalos de edades amplios, pues un niño pequeño empezará a iniciarse en la tarea y uno mayor la logrará con mayor virtuosismo:

Actividades de 0 a 12 años

• Cuando un niño pequeño circula por la casa con su carrito de muñecas pero encuentra un obstáculo en su camino, tal vez una mesa, deberá escoger entre buscar una ruta alternativa o mover la mesa. Esto es resolución de problemas. Aunque se frustre un poco, no le ayudes inmediatamente. Elogia su esfuerzo o tenacidad cuando lo logre.
• Aunque vaya de tu mano a la hora de cruzar una calle, puede ser ella la que decida si es adecuado cruzar, ya sea en un paso de cebra con semáforo o sin él.
• Déjale pagar en una cafetería cuando haya poca gente y la camarera tenga tiempo. Al principio no sabrá llevar la cuenta de las vueltas, pero sí, efectuar la transacción.
• Preparar la bolsa para ir a la piscina. Tu puedes recordarle el contenido o dibujarle una lista que el niño vaya siguiendo. Un paso más allá sería hacer una maleta, previamente consensuado el contenido (y escrito o dibujado en una lista).
• Cocinar. En un comienzo colaborando en pequeñas tareas y más adelante con recetas sencillas que elaboren ellos.
• Aprender a utilizar un aparato electrónico sencillo. Ya sea por ensayo y error o leyendo las instrucciones, deja que sea ella quien decida.
• Al moverse por la ciudad, decidir en qué parada bajarse en el autobús, averiguar un trayecto guiándose por un plano de metro o seguir las indicaciones de un GPS, son ejemplos de ideas que pueden empezar a hacer.
• Dependerá de donde vivas, de las condiciones de seguridad y de la hora del día, pero habrá que buscar momentos para que salga solo a la calle, porque la realidad es donde se plantean los problemas.

Tabla Montessori de tareas domésticas

En el entorno Montessori abundan las tablas con tareas domésticas que pueden hacer los niños según su edad. Una rápida búsqueda en la red te dará muchas ideas. A continuación te mostramos una tabla con algunas sugerencias. No es una verdad inalterable, cada niño es un mundo. Obsérvalo y déjate llevar por tu intuición y por sus deseos. A medida que le dejes espacio, verás que irá demandándote qué cosas quiere y puede hacer.

2. Soluciones en el aula

• Plantear problemas a partir de situaciones reales próximas al entorno de los estudiantes o buenas simulaciones de la realidad.
• Proponer problemas empleando distintos formatos: imágenes, cómics, verbalmente, en vídeo (películas, situaciones cotidianas, cuestiones para pensar) o con el apoyo de materiales.
• Resolver los problemas colaborativamente, como se resuelven los problemas en la vida.
• Promover la comunicación verbal para plantear el problema, para explicar la solución. Fomentar que debatan y se ayuden mutuamente.
• Trabajar el uso de materiales como primer enfoque para comprender el problema.
• Enseñar distintas estrategias para reflejar la información: gráficas, materiales, dibujos o garabatos, de forma oral, mediante operaciones o redactada.
• Dejar hacer. Si el alumno demanda ayuda, no proporcionar la solución, ayudarle a aclarar sus ideas con preguntas adecuadas.
• Aceptar que existen varias formas de resolver un problema e incluso distintas soluciones para un mismo problema.

Estas son algunas de las reflexiones en torno a un tema muy complejo. Estamos reflejando sólo una porción del pastel. ¿Qué ideas crees que es importante reflexionar en este campo?

La entrada Resolver auténticos problemas, esa es la cuestión se publicó primero en Mates en casa.

Quizás ya conozcas los policubos. Es un material de construcción formado por cubos de plástico que se engarzan entre sí. No es un material Montessori, pero concuerda con su filosofía manipulativa. En las matemáticas del método Singapur los emplean en el día a día y en cualquier colegio o instituto donde fomenten la manipulación en matemáticas. El asunto es que es un material tan poco estructurado y versátil  que a mucha gente le cuesta descubrir todas sus posibilidades. ¿Eres uno de ellos?

¿Por qué las matemáticas manipulativas?

Aprender tocando. Esa es la principal premisa que defendemos en Mates en Casa. Promovemos un aprendizaje de las matemáticas táctil, partiendo de objetos de nuestro entorno y de unos pocos materiales matemáticos bien escogidos (y muy baratos). La construcción de los conceptos numéricos, la resolución de problemas, la geometría o la lógica, todo ha de anclarse en materiales en sus primeras etapas. Poco a poco y a medida que crecemos vamos dando pasos hacia la abstracción. Sin embargo, los materiales siempre deben estar ahí para apoyarnos en cuanto necesitamos dar un paso atrás y comprender de qué estamos hablando.

Ventajas de los policubos

• Facilitan la comprensión de conceptos matemáticos y son un primer paso en la resolución de problemas.
• Son enormemente versátiles. Se pueden proponer actividades para cualquier área de conocimiento matemático.
• Son muy económicos.
• Se trabaja la psicomotricidad fina a tope.
• Se usan durante toda Primaria y también en Secundaria, como ayuda para plantear problemas.

14 actividades con policubos

Tanto si ya los conocías pero no se te ocurría como explotarlos como si acabas de descubrirlos, vamos a mostrarte 14 actividades y juegos para realizar con niños de 2 a 7 u 8 años, más o menos graduadas en dificultad. No significa que a partir de esas edad dejen de ser útiles, todo lo contrario. Simplemente la variedad de actividades que existen es tal que hemos tenido que acotar un rango de edad. Si estás interesado en que propongamos actividades a partir de esa edad, háznoslo saber en comentarios.

Uno de los objetivos al plantear la mayoría de estas actividades es que fuesen autocorrectivas, es decir, que la propia niña pudiese valorar si se ha equivocado y enmendarlo. Recuerda que los errores son algo positivo, un paso en el proceso de aprendizaje. Sin errores no se aprende y debemos hacérselo saber a nuestros hijos.

0. Juego libre

Realizar construcciones libremente. Jugar igual que harían con otros bloques de construcción.

1. Clasificar por colores

Material:

• Cartulinas de los colores de los policubos.
• Recipientes.
• Policubos.

Proponer a la niña clasificar los policubos en función de su color.

Nivel 1. A la hora de clasificar es más sencillo si les proporcionamos unos recipientes con las cartulinas de colores en el fondo.

Nivel 2. Proporcionar los recipientes sin las cartulinas.

Nivel 3. No proporcionar recipientes de modo que tenga que agruparlos en varios montones.

Al terminar se le puede sugerir contarlos (aunque aún no sepa contar bien, el camino se hace andando).

2. Seguir o diseñar secuencias

Nivel 1. Seguir un patrón dado por una plantilla.

Nivel 2. Crear las propias secuencias.

En nuestro tablero de Pinterest puedes acceder a plantillas gratuitas con secuencias y descubrir nuevas actividades.

Por último, en el blog de Reseteo Matemático proponen un montón de actividades en las que esto de hacer secuencias da mucho juego.

3. Construir números

Puede ser pensar un número y construirlo o montar todos los números del 1 al 10, como han hecho en ABC Learning Academy.

4. Contar. Comparar. Ordenar.

Material:

• Policubos.
• Bandejas.
• Números dibujados en cartulina o en lija.

Busca varias bandejitas, pueden ser, fiambreras (también llamadas tuperwares), las tapas de las fiambreras o cualquier otro recipiente similar. Intenta que sean iguales para no generar distracciones y que sean suficientemente amplias para que las piezas no se amontonen en su interior. Sitúa sobre ellas los cubitos.

Contar

Opción 1. Contar las piezas de una bandeja. Asociar el número escrito.

Opción 2. Construir la torre con los policubos. Contar las piezas. Asociar el número escrito.

Comparar

Nivel 1. Tomar dos bandejas. Construir las torres correspondientes a las dos cantidades. Decidir cuál es más alta y concluir en cual hay más cubos (y si encima los contamos, genial).

Nivel 2. Tomar dos bandejas. Contar las cantidades. Decidir dónde hay más. Comprobar si acertamos construyendo las torres y comparando sus alturas.

Ordenar

Nivel 1. En los ejercicios del apartado anterior, razonar cómo se ordenan de mayor a menor y viceversa.

Nivel 2. Tomar tres bandejas. Contar las cantidades. Ordenarlas de mayor a menor o de menor a mayor. Para ordenarlas tendrá que ir comparando todas con todas hasta lograr establecer el orden.

Nivel 3. Tomar tres bandejas. Contar las cantidades. Ordenarlas de mayor a menor o de menor a mayor. Para ordenarlas tendrá que ir comparando todas con todas hasta lograr establecer el orden.

Nivel 4. Añadir más bandejas. Cuántas más bandejas añadamos, más complicado será.

5. Subitizar

Montamos un número, preferiblemente con piezas de dos colores que se alternen. Se la mostramos unos segundos a nuestro hijo, menos de los que necesitaría para contar. La escondemos. El niño debe ‘adivinar’ qué número era.

Empezar por números muy pequeños, como el 2 y el 3 e ir subiendo.

Ejemplos:

6. El juego de las torres

Este juego permite asociar distintas formas de representar un número. Consiste en:

• Tirar un dado (comienza con uno de 6 pero es genial complicarlo con dados de hasta 20 caras).
• Construir una torre de la altura que indica el dado.
• Alternativamente cada jugador construye su torre.
• Recomendamos jugarlo de modo cooperativo, el objetivo es construir una ciudad con edificios lo más altos posible.
• Una vez terminado el juego puede construirse la ciudad con carreteras de cinta de embalar y añadiendo otros juguetes como coches o mobiliario urbano.

7. Sumar

Proponer una suma, por ejemplo 5+7. La niña toma las piezas que representan el 5 en un color y las que muestran el 7 en otro. Une todas las piezas y proporciona la respuesta.

Estas sumas pueden proponerse de modo informal. En sus comienzos, la suma es enteramente manipulativa y sólo cuando este nivel está afianzado se pasa a la escritura, representándola con símbolos.

8. Llevar la puntuación en un juego

Hace poco te proponíamos juegar a los bolos en casa con tus hijos. Si todavía son pequeños, llevar la cuenta de los puntos de cada jugador puede ser dificil. Una solución es asignar un color a cada jugador e ir añadiendo tantos policubos como bolos se tiren. Al final tendrán que contar sus largas filas de policubos para descubrir quién gana.

9. Construir los números pares e impares

• Alternando dos colores, construir torres con los números hasta el 10. Asociar el número escrito en cartulina o lija.
• Observar que los pares tienen los mismos cubos de cada color y los impares no.

10. Medir y comparar longitudes

Escoged varios juguetes. Disponedlos tumbados o verticales.

Igualad su longitud o su altura con policubos.

Averiguar cuantos policubos mide cada juguete.

11. Hacer gráficas estadísticas

Las gráficas de barras será seguramente su primer contacto con la estadística. Quizás el modo más sencillo es realizar unas gráficas para llevar la cuenta de la situación meteorológica a lo largo de un par de semanas.

Cada día se añade un cubo a las condiciones meteorológicas que correspondan (sol, lluvia, etc.). Se obtienen así columnas con el número de días de cada uno.

Al final se analiza qué tiempo hizo en ese periodo y si tiene sentido en la época del año en que se realice.

12. Construir figuras simétricas

Una persona, adulto o niño, construye una figura plana. La dispone en el suelo y se traza una línea.

El niño deberá construir el reflejo de la figura, como si la línea fuese un espejo.

Comprobará que lo ha hecho bien si las dos figuras ‘encajan’, es decir, si podemos doblar imaginariamente por la línea y colocar una sobre otra, como cuando cerramos un libro.

13. Construir con ángulos rectos

Una idea simpática que proponen en el blog Aprendiendo Matemáticas es construir figuras geométricas con palitos (ellos proponen con ramitas, pero pueden ser palitos de helado). Sugieren crear rectángulos y cuadrados, figuras geométricas en las que los ángulos son rectos (miden 90º). Para asegurarnos de estarlo haciendo bien, en cada ángulo ponemos un cubo a modo de control.

14. Lógica

Juego 1

¿De cuantas formas distintas puedes montar una torre de cubos en los que hay x de cada color? Este es un problema clásico que se puede plantear en cualquier nivel educativo. En Infantil simplemente habrá que proporcionarles los mismos cubos en varias bandejas para que puedan ir comparando que no repiten las configuraciones.

Juego 2

¿Cuántas construcciones distintas puedes hacer con x cubos de un mismo color? De nuevo un problema de mayores que pueden jugar los niños. Ahora no se trata de hacer torres. Tendrán que descubrir las distintas configuraciones espaciales que se pueden hacer con un número de cubos.

La entrada Policubos para aprender tocando en Educación Infantil (y más allá) se publicó primero en Mates en casa.

Cada vez más expertos confirman lo que muchos maestros ya sabían: trabajar las matemáticas desde muy pequeños favorece el desarrollo de buenas capacidades matemáticas. En particular, se comienza a hacer hincapié en el periodo de 0 a 3 años. El juego de bolos que te presentamos puede jugarse con niños desde 2 a 8 años, realizando pequeñas modificaciones. Números, sumas, lógica, geometría o psicomotricidad fina son algunas de las áreas que trabajarán sin darse cuenta.

Hace algún tiempo un estudio de la Universidad de Florida planteaba mejorar las destrezas matemáticas en niños de Infantil por medio de 15 juegos que abordaban los números desde diferentes perspectivas. Trabajaron durante quince minutos, una vez por semana, durante quince sesiones con alumnado de una zona desfavorecida de Miami. Los resultados fueron espectaculares: el alumnado que practicó estos juegos mejoró sus resultados un 50% con respecto al grupo que no jugó. Este estudio derivó en una genial charla TED que puedes enlazar desde aquí.

El listado total de juegos del estudio te los enlazábamos hace unos meses en esta entrada: «15 juegos para que a tu hijo se le den bien las matemáticas«. En la entrada de hoy vamos a centrarnos en el juego de los bolos. Es un material muy económico que podemos comprar en cualquier bazar o fabricar nosotros mismos, como te explicaremos al final. Continúa leyendo pues sus posibilidades matemáticas son mucho mayores de lo que imaginas.

Cómo jugar a los bolos

• Como seguramente ya sabrás, los juegos constan de diez bolos. Se colocan en posición de flecha, formando un triángulo cuyo vértice se dirige hace vosotros, como se puede ver en la foto de portada.
• Cada jugador, por turnos, tira una pelota desde una distancia previamente pactada y gana el que tire más bolos.

Mejoras (matemáticas) que realizar al juego de los bolos

• Pegar en el suelo diez círculos de papel para que los niños sean capaces de colocar los bolos sin ayuda. Trabajaremos de paso la visión espacial, el triángulo y la psicomotricidad fina.
• Una opción interesante es numerar los círculos de papel, de forma que vayan contando a medida que colocan los bolos.
• Otra alternativa es numerar los propios bolos, además de los círculos. Tendrán que ir buscando el bolo correspondiente a cada círculo.
• Para llevar la cuenta podeis usar plantillas con números o una pizarrita. En el blog El Castillo de Elena nos muestra como lo hacen con números pegados con velcro en una clase de Infantil.

Sumar con bolos

Con niños que empiecen a soltarse con la suma pueden sumarse los bolos siguiendo dos estrategias distintas. Una pizarrita para anotar los puntos donde todos podáis verlos resulta de gran utilidad:

Nivel 1. Sumando bolos

En la pizarrita se van anotando y sumando los bolos que ha tirado cada niña. Para niñas que estén empezando, sumar con el ábaco es una fantástica idea. El ábaco Rekenrek es el complemento ideal para tus bolos y para la vida. Consulta nuestra entrada «El ábaco que todo hogar debería tener: el Rekenrek«.

Nivel 2. Sumando bolos

• Numerar los bolos del 1 al 10. Cada bolo tendrá un valor distinto, el del número que se le asocia.
• Al contar los bolos tirados se tendrá en cuenta la puntuación que se asocia a cada bolo.

Para pequeños profesionales de los bolos

Si tu hija suma con facilidad cantidades hasta 300 podéis aprender en casa cómo se llevan las puntuaciones en una auténtica bolera. En este enlace no explican cómo se puntúa cada tiro en una bolera. Naturalmente, la gracia de aprender esto reside en ir a ponerlo en práctica el fin de semana a una auténtica bolera.

Cómo fabricar bolos caseros

El siguiente vídeo nos muestra un modo sencillo de fabricar unos bolos caseros. No lo mencionan pero puede ser una buena idea introducir un poco de arena en el fondo de los bolos para que no caigan tan fácilmente. (La marca que lo promueve no tiene nada que ver con nosotros).

Lo positivo de esta historia es que todos podemos realizar esta clase de juegos en casa. Podemos jugar, favorecer las capacidades de nuestros hijos y pasar un buen rato juntos, de la misma manera que cuando leemos un cuento o bailamos. ¿Te animas a probar?

La entrada Jugando a los bolos también aprendo matemáticas se publicó primero en Mates en casa.

Quizás haya llegado a tus manos en los últimos tiempos el enésimo problema que según dicen resuelven los niños chinos en primaria. Nos referimos al que habla de un gato, una tortuga y una mesa y nos insta a calcular la altura de la mesa del que se hacía eco Verne El País hace unos días. Posiblemente te hayas echado las manos a la cabeza sintiéndote torpe y preguntándote que tienen esos niños que les haga tan listos o si será cierto.

El problema en cuestión

Antes de nada echa un ojo al problema. No hace falta ni que veas el vídeo, con la primera imagen es suficiente. La cuestión es cuánto mide la mesa de alto, teniendo en cuenta los datos de la imagen:

Habrás llegado a la solución, pero nuevamente te preguntarás como es posible que un niño de primaria haga eso, sea del país que sea. Si ves el vídeo o la entrada de Verne, ese es el primer procedimiento de resolución que ofrece el autor. También ofrece una solución ingeniosa, pero se equivoca, eso no es lo que hacen los niños asiáticos, al menos no la mayoría.

La teoría que hay detrás

Montones de científicos (Montessori, Skemp, Polya, Canals o Callés por citar algunos) han escrito sobre la importancia de comprender los conceptos, no de aplicar procedimientos sin más. Muchos de ellos mencionaron las tres fases para la comprensión de conceptos y la resolución de problemas. También es una de las claves del éxito del método Singapur o del método Shanghai. Veamos:

1. Manejo de materiales reales para representar la situación problemática o concepto.

2. Dibujo de la situación problemática.

3. Representación abstracta utilizando números y símbolos.

En cada una de estas tres etapas solo se pasa a la siguiente cuando la anterior están absolutamente interiorizada.

Cómo resuelven este problema los niños asiáticos

El álgebra es de gran utilidad, pero los niños chinos o singapurenses no resuelven este problema con ecuaciones ni sistemas. Lo resuelven utilizando regletas. Si tienes a mano en casa piezas de Lego o ganas de dibujar un poco, te animo a que no sigas bajando e intentes plantearlo tú…

…

La solución

¿Listo? ¡Allá vamos! Veamos cómo resolver el problema utilizando piezas de Lego Duplo:

En las dos primeras regletas está planteado el problema:

• La mesa es la pieza blanca. El gato es la pieza roja. La tortuga es la pieza azul.
• El gato menos la tortuga es la pieza verde.

En la tercera regleta está resuelto el problema:

Si todo son 170 cm y el trocito blanco que queda libre son 130 cm, me quedarán 40 cm para repartir entre dos piezas iguales. Por tanto serán 20 cm cada una.

Así la mesa serán los 130 cm + 20 cm = 150 cm de altura.

Podrás achacarme que no es adecuado que 40 cm ocupen lo mismo que 130 cm en la representación, y te daré la razón. Las piezas de Lego Duplo tienen la ventaja de encontrarse en muchos hogares pero poseen muchas mayores limitaciones que las regletas. En todo caso, sirven igualmente para realizar razonamientos.

Si buscas otras ideas para trabajar las matemáticas en casa prueba con las matemáticas del ciclismo o las estupas de la India.

La entrada ¿Por qué sabemos menos que los niños chinos? se publicó primero en Mates en casa.

¿Alguna madre o padre con ganas de hacer manualidades este verano? Existe un material Montessori barato y fácil de hacer con muchísimo interés matemático: Las barras rojas Montessori.

¿En qué consisten?

Se trata de 10 barras de sección cuadrada (de 2 o 2,5cm de lado). La menor tiene una longitud de 10cm y la mayor de 1m. Entre cada dos barras la diferencia de longitud es de 10cm.

¿A partir de qué edad?

Este material se recomienda para niñas a partir de 3 años y hasta los 7 o 8 años. Es buena idea emplearlo cuando ya son capaces de hacer torres de cubos. A continuación se muestran los usos y aplicaciones que se pueden realizar con estas barras. Las actividades que se muestran a continuación van aumentando en dificultad, cuándo parar dependerá de la edad y demandas del niño y el criterio del adulto.

Es importante utilizarlas siempre bajo la mirada de un adulto y explicando claramente que es como un puzle, que no se debe utilizar para otros usos pues podría ser peligroso. A fin de cuentas se trata de palos largos de madera y hay que usarlos con responsabilidad.

En las escuelas Montessori guardan las barras en un soporte como este de Montessori Market, sin embargo en el hogar quizás sea algo aparatoso. Una opción para mantenerlas al margen de juegos peligrosos es guardarlas envueltas en una tela que puede servir de tapete al modo Montessori sobre el que realizar la actividad.

¿Para qué sirven?

1. Ordenar las barras

El uso principal consiste en ordenarlas de menor a mayor longitud en el suelo. Aprender a ordenar requiere ir haciendo comparaciones entre cada dos barras e ir estableciendo un orden.

La principal ventaja de estas barras frente a otros materiales similares es precisamente su longitud: para un niño es mucho más fácil comprender las diferencias de longitud cuando son de 10cm que cuando son de 1cm. Se trabajan así los sentidos y la memoria visual y táctil (sentido estereognóstico).

Utiliza los términos «mayor/menor que», «más largo/corto que», «el más largo/corto de todos«.

Es un material autocorrectivo, la niña se dará cuenta de cuando las ha ordenado mal y toca corregir su error. Se fomenta la autoestima, la disciplina y el valor del error como algo positivo.

Nota: Para un niño es mucho más difícil ordenar algo sin una referencia. Explícale que todas las barras deben estar alineadas por la izquierda. Tal vez al principio podéis poner algún objeto que delimite para que sepa desde donde disponerlas.

2. Contar

Una vez las barras están ordenadas pueden usarse para practicar el contar. Puede parecer una obviedad, pero contribuye a generar auténtica comprensión del concepto de número al ir asociando aumentos de longitud con cada número.

3. Construir un rectángulo con las barras. Es preciso retirar la barra de 50cm.

4. Construir una espiral con las barras. Estos «puzles» en tamaño gigante son interesantes pues apelan a la psicomotricidad gruesa y no solo a la fina; el manejo de barras largas es un desafío para los niños pequeños.

5. Con la ayuda de una cinta métrica medid las longitudes de las barras antes de ordenarlas. Comprobad el paralelismo entre las longitudes y los números que se les asignan. OjO: Cuando ya tenga suficiente madurez es interesante aclarar que no es 1, ser es una barra de madera, sino que le asignamos el valor 1.

6. Una vez la niña tenga asimilados los valores que se asignan a cada barra, es buena idea observar cuales suman 10, es decir, cuales suman 100cm de longitud. Contribuye a ir asociando los pares de números que suman 10, clave en el cálculo mental.

En el siguiente vídeo de El Método Montessori muestran cómo ordenar las barras:

¿Cómo fabricar las barras rojas en casa?

En el siguiente vídeo de El Método Montessori explican muy fácilmente cómo fabricar las barras. Básicamente consiste en buscar una carpintería donde nos corten las barras a las longitudes deseadas. Si no conoces ninguna carpintería, Leroy Merlin es tu opción. Seguidamente es buena idea lijarlos antes de pintarlos. En la web de Tigriteando también muestran cómo los hicieron.

¿Y si las quiero comprar?

Naturalmente, eso es posible en webs como Montessori para todos. Tendrán un acabado que es difícil de lograr en casa.

La entrada Las barras rojas Montessori: un material DIY de matemáticas se publicó primero en Mates en casa.

Las balanzas ya sean compradas o fabricadas en casa son un juguete fantástico, divertido y muy educativo. A partir de los 4 o 5 años podremos sacarles todo su partido para desarrollar en nuestros hijos la curiosidad, el afán investigador y un montón de competencias matemáticas. Están ante su primer instrumento para comprender el mundo y va a ser apasionante.

Como con cualquier juguete, primeramente hay que dejar al niño jugar librevemente, experimentar, inventar, lo que se le ocurra hacer. Una vez haya comprendido y explorado la balanza en profundidad, en función de su edad y su evolución podemos empezar a proponerle experimentos. Observarás que las actividades que incluyen conceptos matemáticos pueden plantearse mucho antes de que los aprendan formalmente. El afán repetidor de los niños es ideal para interiorizar las ideas, si le motiva el juego que le propones seguramente estará un rato pidiéndote probar de nuevo. Veamos algunos ejemplos:

Nota: No todas las balanzas vienen con cuentas, que es lo idóneo por su versatilidad, pero siempre podremos usar garbanzos (con vigilancia), fichas de póker o lo que encontremos en casa.

Números:

• Tomando un objeto cualquiera, una pelota, un muñeco, preguntarse ¿cuánto pesará? Contar el número de cuentas que hacen falta.

Sumas y restas:

• Poniendo cinco cuentas en una bandeja y una en la otra, ¿qué puedo hacer para equilibrarlas? Si habla de añadir, ¿cuántas tendré que añadir? ¿en qué platillo? ¿Cuántas tengo ahora en cada platillo?
• Poniendo seis cuentas en una bandeja y dos en la otra, ¿Podría intentar equilibrarlas quitando cuentas en lugar de poniendo? ¿Cómo?
• Ante una balanza equilibrada, ¿cómo puedo añadir cuentas y que la balanza siga equilibrada? ¿y cómo puedo quitar cuentas y que la balaza siga equilibrada?

Medidas:

• Sustituir las cuentas por otros elementos y realizar comparaciones: ¿Cuántos garbanzos pesan igual que dos pares de calcetines? ¿Cuántos granos de café pesan tanto como diez garbanzos? ¿Cuántos garbanzos pesan tanto un puñado de harina?
• Pesar objetos de peso muy distinto: ¿Cuántas cuentas pesa un paquete de palomitas? ¿Y un cuenco de cereales?
• Plantearle en abstracto la pregunta: ¿Qué pesa más un oso o diez ratones? Ponerlo en práctica con muñecos. Es importante escoger peluches que de alguna manera guarden las proporciones, es decir, que el oso sea grande y los ratones o similar, pequeños.

Lógica:

• Proponerle a la niña un juego de investigación: Se le muestra una balanza equilibrada en la que en uno de los platillos además de cuentas haya un objeto cualquiera. El objetivo es averiguar el peso del objeto con pocos movimientos, partiendo de la situación propuesta.
• Segundo juego de investigación: Se le muestra una balanza equilibrada en la que en uno de los platillos haya dos objetos iguales. En el otro platillo habrá cuentas. El objetivo es averiguar el peso del objeto con pocos movimientos, partiendo de la situación propuesta (quitando la mitad de objetos de cada platillo, ¡dividiendo entre dos!).

Una balanza será útil toda la primaria y comienzo de secundaria. Son un artilugio genial para aprender a resolver ecuaciones en 1º de ESO pues si observas las propuestas de Lógica, en la práctica el niño resuelve ecuaciones sin darse cuenta. También son geniales para realizar los primeros experimentos de física.

Y ahora que ya eres un superfan de las balanzas, ¿dónde comprarlas? Casi todas las marcas tienen balanzas infantiles aunque nuestras favoritas son las de Dideco que puedes consultar pulsando en la imagen:

Otras bien diseñadas son las de Goki:Y si no puedes aguantar a ponerlo en práctica, podéis realizar una balanza DIY como la de este video:

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La torre rosa Montessori es uno de los materiales más conocidos de esta pedagogía. Consiste en 10 cubos de madera de color rosa, el menor de 1cm³ (1x1x1cm) y el mayor de 1000cm³ (10x10x10cm), es decir, 1 litro. En medio, los ocho restantes tienen 2, 3, 4 cm de arista y así sucesivamente. La principal aplicación es la de montar la torre que forman los cubos, utilizando el cubo más pequeño de elemento autocorrector para asegurarse de estarlo haciendo bien dado que entre un cubo y otro debe quedar 1 cm libre. Las torres bien presentadas vienen acompañadas de 30 cubos pequeños de 1cm³ lo que multiplica las aplicaciones matemáticas posteriores.

(Si ya conoces este material y deseas saber como aplicarlo para generar conocimiento matemático, ve directamente al final del artículo).

Podría pensarse que no hay grandes diferencias con los clásicos cubos encajables de cartón o plástico que tienen todos los niños, pero pequeños detalles marcan la diferencia:

• Los cubos de la Torre Rosa son sólidos, de modo que el mayor pesa bastante para un niño, desarrollando el sentido bárico, es decir la comprensión del peso de los objetos.
• Son una introducción muy potente al sistema métrico decimal, aprehendiendo lo que es realmente 1cm, 1cm³ o 1 litro.
• Como con los cubos normales, se trabaja la lógica y la resolución de problemas, para el montaje de la torre, y el lenguaje con los términos grande, pequeño, el mayor, el más pequeño, pesado, ligero o ordenar.
• Finalmente el elemento autocorrectivo que se mencionaba antes permite que la niña una vez comprende el mecanismo pueda realizar la actividad sin ayuda, lo que fomenta la autonomía, la autoestima, la concentración, etc.
• Aunque no es el objeto de esta entrada, hay un montón de disposiciones artísticas y lúdicas que se pueden realizar con la torre rosa.

Una vez superado el montaje de la torre y con la ayuda de los cubos pequeños se puede trabajar el número de cubos pequeños que hacen cada uno de los grandes, las potencias de 3, las raíces cúbicas, cuántos cubos de tamaño x harían falta para embaldosar la habitación. La profundidad del significado de los conceptos que representa varían con la edad por lo que resulta útil incluso en secundaria. Al final de la entrada se muestran algunas de las actividades que se pueden realizar.

Hay un montón de referencias y fotografías que se pueden consultar en la red, pero esta entrada de Creciendo con Montessori nos parece realmente interesante.

En cuanto al precio y a donde comprarla, la ideal y más recomendable es esta de Montessori para todos que cuesta 40 euros pero es de gran calidad e incluye los 30 cubitos de 1cm³ que en nuestra opinión son fundamentales para dar usabilidad a la torre rosa. Es posible encontrarla en Aliexpress y en Amazon, pero con resultados dudosos según los compradores. En particular en Aliexpress indican que en lugar de medir 1cm de arista, las piezas miden 0.7cm por lo que las ventajas de comprensión del sistema métrico decimal se pierden.

Actividades:

Todas estas actividades se deben plantear sin prisa, sin presión, al ritmo de la niña. Sin expectativas y al mismo tiempo sin frenar su interés porque pensemos que algo es muy difícil para ella. Seguro que al plantear estas preguntas os surgen otras que también podéis intentar responder. Y sobre todo, nada de fichas, de cuadernos, esto no es el colegio, sólo estáis dedicando un rato a pensar, curiosear e investigar.

Geometría:

¿Cuantos cubos pequeños necesito para hacer uno de los grandes?

¿Puedo montar un cubo usando cubos más pequeños de distinto tamaño? ¿Cuál es el cubo más grande que logro crear?

Medidas:

Con la regla, medid las longitudes de las aristas de un cubo, ¿son todas iguales? ¿Cómo van aumentando con los cubos?

¿Cuánto mide la torre? ¿Qué cosas de esa altura hay en casa? ¿Cuántas torres necesitaríamos para que fuese tan alta como el niño?

Avanzado – Números y geometría:

Si te doy este cubo, ¿cuántos cubos hacen falta para completar su arista? Expresado en centímetros, ¿cuántos serían?

¿Cuántos cubos pequeños forman el cubo ___? ¿Cuál es el volumen del cubo ___? ¿Puedo (y quiero) escribir esto con números?

¿En qué se diferencia el cubo entero de una cara? ¿Y de una arista? ¿Es lo mismo cm que cm³?

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La mayoría de metodologías de enseñanza de matemáticas, desde Montessori hasta el Método Singapur abogan por el uso de materiales manipulativos desde los que construir los contenidos mediante un proceso de abstracción. Existe una serie de clásicos cuya utilidad está fuera de toda duda y que se usan en multitud de escuelas en todo el mundo. Asimismo, las pedagogías Montessori, Waldorf, Reggio Emilia e incluso Pikler incorporan algunos materiales sensoriales, manipulativos, de grandísima utilidad para la construcción de ideas matemáticas de manera intuitiva. Algunos de ellos se pueden empezar a utilizar a partir de los 2 años y permiten el acercamiento a conceptos como volúmenes, superficies, distancias, que es preciso vivenciar para interiorizar y comprender en profundidad, recordemos que no se puede recordar o imaginar mentalmente lo que no se ha conocido primero en el plano físico.

Diversos estudios han llegado a una serie de indicaciones para el uso, con éxito, de materiales manipulativos; ideas que por otra parte ya planteó de modo similar en su momento Maria Montessori. Estas pautas son:

• Usar los materiales durante un periodo de tiempo superior a un año: Lo ideal es regalar a la niña estos materiales lo antes posible según la edad indicada en cada caso, para que los pueda experimentar desde casi bebé hasta en secundaria. No es mala idea, dado que no siempre son económicos, planificar las compras y coordinarlas con las fechas de cumpleaños y Navidades.
• Evitar materiales que se parezcan a objetos de la vida real o que tengan elementos distractores: Este es el motivo por el que los materiales Montessori son monocromáticos, para que el niño centre su atención en las características relevantes. Por otro lado, estudios en los que niños jugaban con dinero comprobaron que aprendían mejor con billetes y monedas muy simplificados que con fieles reproducciones de la realidad.
• Explicar explícitamente la relación entre el material y los conceptos matemáticos: En las escuelas Montessori explican casi sin palabras, pero con mucha seriedad a los niños cómo utilizar los materiales y su sentido.
• Si se emplea una representación de la realidad, como un plano, es conveniente que sea lo más parecido posible a esta e ir avanzando con el tiempo a representaciones más abstractas. Es decir, si se dibuja el plano del salón, lo ideal sería que apareciesen los mismo muebles, con los mismo colores.

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Estudios científicos

Un estudio realizado con recién nacidos demostró que eran capaces de distinguir entre una cantidad grande de objetos y una pequeña, también funcionaba con sonidos. Otro planteado con bebés de tan sólo 4 meses mostró como los niños percibían errores en una suma: Se introducía un objeto en una caja ante la mirada atenta del bebé, a continuación se metía un segundo objeto, después se abría la caja y se mostraba al niño que sólo había un objeto. Los niños se quedaban asombrados, visiblemente sorprendidos ante la incoherencia. Estudios similares se han realizado con niños de educación infantil con resultados parecidos.

Experiencias reales vividas en las familias

Pero no tienes que realizar con tu hijo experimentos científicos para observar que con apenas un año, sus avances en matemáticas son palpables, tan sólo basta con estar atenta. Acompañarle en sus avances sin intervenir en exceso pero ayudándole a poner en palabras lo que va descubriendo está al alcance de todo el mundo y favorecerá su aprendizaje. Veamos algunas situaciones reales:

Xoel era un niño de algo más de un año, un día se fijó en que su madre, que habitualmente no llevaba reloj, ahora tenía uno en su muñeca izquierda. Extrañado señaló la muñeca derecha e hizo un gesto de sorpresa: «no tá», dijo. Su madre le respondió que solo había uno, que había dos manos, pero solo un reloj. Xoel había dado un primer paso para asociar los elementos de dos conjuntos, un pequeño escalón en el proceso de aprender a contar.

Vega tenía 15 meses cuando empezó a señalar detrás de ella en el tren y le dijo a sus padres: «detrás». Su padre asintió y señalando la fila de delante le dijo «delante». Vega estuvo encantada durante el viaje señalando detrás y mostrando su conocimiento. Estaba construyendo conocimientos geométricos y era emocionante.

Julia, con año y medio, tenía un juego de construcciones de madera, con piezas de base circular y otras de base octogonal o cuadrada. Situó la pieza de base circular, un cilindro, en una superficie inclinada y observó como rodaba, después hizo lo mismo con las otras y le fastidió ver que no bajaban.

Juan era un niño de 20 meses que jugando con su abuelo había aprendido la palabra TRES, sin asociarle un valor numérico, solo contando ¡UNO, DOS, TRES! Un día, con un juego de introducir piezas por tres palitos verticales observó que le faltaban piezas y que un palito quedaba vacío: «Mamá, tres», dijo. Empezaba a asociar la palabra con la cantidad.

Experiencias así se viven en todos los hogares, tan solo consiste en observar a nuestros hijos, comentar con ellos las experiencias que viven, poner palabras a sus descubrimientos matemáticos.

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¿Quien no recuerda cuando de niño le decían que contar con los dedos era para los que no sabían sumar bien? En aquel momento se creía así y por ese motivo se animaba a los estudiantes a abandonar es práctica infantil lo antes posible. Cuando ya eras capaz de hacerlo de memoria se consideraba un dato muy positivo. Pues lo cierto es que la neurociencia ha demostrado que es rotundamente falso y que eliminar ese recurso tan a mano (nunca mejor dicho) perjudica las habilidades numéricas.

En un estudio realizado se observó el área del cerebro dedicada a la percepción y representación de los dedos. Curiosamente se ponía en funcionamiento cuando se realizaban cálculos mentales aunque no se utilizasen los dedos. También era así cuando se resolvían problemas complejos, con números mayores.

Parece ser que una buena percepción de los propios dedos predice los resultados en cálculo incluso en estudiantes universitarios y que tal vez por eso los músicos suelen tener buenas aptitudes para las matemáticas. Cuando se practicaron actividades de percepción de sus dedos con un grupo de niños de seis años, sus resultados en aritmética mejoraron. Es más, se considera mejor predictor del éxito en la asignatura que los tests de inteligencia.

Todos estos estudios son muy recientes y en ningún currículo de la asignatura aparece la realización de actividades para la mejora de la percepción de los dedos, que dicho así suena un poco cómico. Pero sí se pueden realizar algunas actividades de psicomotricidad fina que trabajan esta cuestión. En función de la edad tendrás que hacer pequeños ajustes en la dificultad de lo que le propongas:

Material:

• Gomets de colores
• Plantillas con 10 teclas de piano, separadas en dos grupos (uno por mano). En la imagen puedes observar dos ejemplos distintos:

• Juegos de seguir la línea, de colores, como el que encontrarás en el siguiente enlace.

Actividades:

1. Pega un gomet de cinco colores distintos en las cinco uñas de la niña. Haz lo mismo en las dos manos (mismos colores en mismos dedos). Pídele que toque la tecla de piano correspondiente al color de cada dedo.
2. Pídele que siga las lineas del juego con el dedo que corresponda al color.

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